Возвращение козы в конвертах
Постоянные читатели блога возможно помнят какие веселые битвы были тут год назад про задачку с козами. Кончилось все даже публичным пари, когда мы встречались лично и открывали двери с козами. Решение задачки достаточно очевидно, если кто не помнит то дверь надо менять. Но лично мне больше нравится другая задачка. Звучит она проще, но смысла несет больше.
Итак. Перед вами 2 конверта. Ведущий положил в эти конверты денег таким образом, что в одном конверте сумма в 2 раза больше чем в другом. Вы можете выбрать конверт, и посмотреть сколько там бабла. Теперь главное. ВЫ МОЖЕТЕ ПОМЕНЯТЬ конверт на другой только один раз. Нужно ли менять? Предполагается, что сумма может быть любой, от копейки до хулиарда долларов. Копейка делится на кусочки бесконечно. То есть открыв копейку, в другом конверте может быть и полкопейки.
Ответ и пару мыслей под катом.
На первый взгляд, решение очевидно. Вы, с вероятностью 50% угадали либо конверт с большей суммой, либо с меньшей. Менять нет смысла. Если немного знакомы с вероятностями, то не менее очевиден другой ответ. К примеру вы открыли конверт, где 100 рублей. В другом – с вероятностью 50 % либо 200 либо 50.
200*0.5+50*0.5 = 125. То есть математическое ожидание суммы в следующем конверте – 125 рублей!!! Опа.
Забавная штука получается. Как бы вы не крутили, не пыжились и не танцевали с бубном. У ВАС НЕТ ШАНСОВ ПРИНЯТЬ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ! Оно всегда будет неверным, так как в другом конверте матожидание денег выше. Конверт надо менять.
Можно пытаться обмануть вселенную и рассуждать так. Я выбрал конверт, но так как я знаю, что в другом конверте денег теоретически больше – открою ка я другой. Программисты так и продолжают выбирать бесконечно, так как у них цикл схлопывается. Если выбрал один, то выбери другой. А раз выбрал другой, то поменяй решение. И так до бесконечности…..))))
Не работает! Магия начинается в тот момент, когда вы суете нос внутрь и видите сумму. До этого мгновения ничего не происходит.
Хитрые люди (я так подразумеваю, что трейдеры) придумали еще один хинт, позволяющий увеличить выигрыш на большой серии раздач. Оказалось, что если человек заранее задумывает сумму и не меняет конверт, если сумма в первом больше чем задуманная, то в целом, он выиграет больше. Понимаете? Опять мы сталкиваемся с тем, что происходящее снаружи может зависеть от нашего мнения о происходящем. Напрашивается вывод, что все мы – часть большого аттракциона.
Я уже писал про квантовые процессы и “парадокс наблюдателя“. Все не так просто, как кажется на первый взгляд. Может поэтому большинство трейдеров проигрывают. Подумайте. Любое решение, которое вы приняли (или примете еще) сегодня – купить или продать – скорее всего не правильное!))))
Удачных торгов!
Подпишись на новые посты по email!
Подпишись на новые посты по RSS!
Читай в LiveJournal! 
2. Сентябрь, 2009 в 11:13
у меня сейчас мозг взорвется!
2. Сентябрь, 2009 в 11:17
Ну, Феникс! Вот так вот, инициируешь рак мозга прямо вначале рабочего дня… Теперь народ вместо работы будет думать “А как же так!”. Это случаем пример не из того телешоу про деньги, о котором ты писал раньше?
2. Сентябрь, 2009 в 11:22
Если оттуда, то… Ты открыл второй конверт?
На самом деле, это чистой воды казиношный случай с красным и черным. Только в казино, если не угадал, получаешь 0. Поэтому там матожидание несмещеннное. А тут, если не угадал со вторым конвертом, получаешь поощрительный приз в половину от вложенной суммы, что собственно и смещает матожидание в положительную сторону. Поэтому мой вердикт – надо брать )
2. Сентябрь, 2009 в 11:27
имхо, МО неверно посчитано. Т.е. оно посчитано математически верно, но с точки зрения реальности МО рассчитывается до момента выбора, а не после
Иначе получается, что после выбора одного конверта может быть 2 варианта дальнейшего развития событий, хотя на самом деле он 1.
Хотя надо провести математическое моделирование, мало ли, может в действительности все совсем не так как на самом деле
2. Сентябрь, 2009 в 11:28
Данный пример не применим к трейдингу, т.к. там нельзя заглянуть в конверт. Да и конверт всего один
2. Сентябрь, 2009 в 11:31
Саша, у тебя у самого голова не болит? )))
2. Сентябрь, 2009 в 11:37
ну можно применить на работе, когда за наликом приходишь к сейфу, тебе дают конверт, а ты его тихонечко меняешь на другой. Продвинутый вариант это потом еще пойти снова и потребовать свой конверт еще раз.
2. Сентябрь, 2009 в 11:40
Tsch у меня то что, я никогда не задумываюсь на тем, что пишу. Я это даже читаю редко.
2. Сентябрь, 2009 в 11:43
менять надо не из-за матожидания,
менять надо потому, что все трейдеры знают, что боль и мучения от непринятого решения всегда сильнее чем боль от невернопринятого решения )))
2. Сентябрь, 2009 в 12:13
Саша, а ты думаешь аналитики читают то, что пишут? Они писатели, а не читатели! )))
2. Сентябрь, 2009 в 12:39
Задача непростая. Если кого-то интересует могу подкинуть ссылки на многомесячное! обсуждение ее неглупыми (казалось бы
) людьми.
В результате была найдена хитрая стратегия о которой указал Феникс, но вроде бы так и не был найден алгоритм выбора приемлемой суммы.
2. Сентябрь, 2009 в 13:45
в трэйдинге это видимо
1 конв- крою позу беру прибыль допустим 100п.
2 конв- передвигаю стоп гарантирующий 50п. и жду прибыль 200п.
2. Сентябрь, 2009 в 13:48
да, поэтому любой профи знает, что выходы по стопам на дистанции всегда обыграют выход по тейкам
2. Сентябрь, 2009 в 13:59
ИМХО речь просто о квантовых процессах. МО здесь ни при чём.
Dawn the Rabbit Hole.
Эксперимент, когда посчитали щелчки на записи, передали запись человеку, чтобы он при прослушивании думал, что левых щелчков больше, чем правых. После прослушивания прокрутили запись – левых щелчков оказалось больше. Даже на одновременно сделанной копии запертой в сейфе.
2. Сентябрь, 2009 в 14:03
надо тогда тоже самое было еще одному дать, чтобы он думал, что правых больше чем левых)
2. Сентябрь, 2009 в 16:12
Очень понравилось обсуждение этой темы еще от прошлого «козла».
Может я не заметил, но ни у кого не увидел варианта «от противного» (или обратного) и по этапам:
Смотрим задачку «про козу» –
Какие шансы выбрать правильную дверь в самом начале? 1/3? 50/50?
Нифига!!!
100% на то, что вы выбрали правильную дверь! Ведь ведущий НЕИМЕЕТ ПРАВА открыть дверь с козой! А это значит, что в ЛЮБОМ СЛУЧАЕ мы переходим на следующий этап с козой! И тут ведущий (который как выяснилось сам КАзел) открывает одну из дверей и…. Забирает наши 100%, оставляя на 2 этапе только 2 двери и шансы на выбор 50/50. Не важно изменим мы выбор или нет. Мы, как и раньше, не знаем что за оставшимися дверьми. А тот КАзел (который как выяснилось еще и ведущий) забрал наши 100% и поставил перед выбором из 2 дверей.
Теперь смотрим на конверты:
С одной стороны – ну выбрали мы левый конверт (допустим), ну есть там 100р.
Казалось – отлично! Деньги на кармане, шансы, что ты выиграл – 100%.
Заработал 100р. и иди в кабак с девушкой…
Но ведь опять облом! Ведущий (лишний раз убеждаюсь какой он КАзел) подсовывает еще один конверт и говорит – ВЫБИРАЙ! Играя на чистой жадности!
А нафига? Я уже имею свою 100!, а как показывает практика охотясь за 200, ни то, что 50…еще и должен останешься.
ВЫВОД: В обоих случаях бьем морду тому КАзлу который называет себя ведущим, забираем от 150 до 300р. и едем на козе по бабам!!!
2. Сентябрь, 2009 в 17:52
Это супер задача! Отличная просто! Must read всем, кто играет на деньги. Admin, огроменный респектище! Я даже после задачи с козой и то с трудом мозги вывернул, чтобы решить правильно, а не ввертывать проклятую интуицию! И это после годов успешного трейдинга… Нельзя, блин, интуиции доверять при работе со случайными процессами
2. Сентябрь, 2009 в 18:15
Задачки просто супер! Но вторая больше подходит Форекс, а первая заставляет мозги скрипеть))
2. Сентябрь, 2009 в 23:12
есть решение этого парадокса с большим, чем здесь указано мат ожиданием.
(недавно нашел очерк одного профессора)
3. Сентябрь, 2009 в 08:01
все будет зависит от суммы лежащей в 1 конверте.
Если сумма достаточно большая, выше моих заработков в разы, то думаю не стоит рисковать.
3. Сентябрь, 2009 в 18:29
Я для себя ответил так. Если в первом конверте сто рублей, то во втором либо на 50 р. меньше, либо на 100 р. больше. 100>50
Поэтому надо открывать! Хотя вероятность 50на50, но я бы открыл.)
3. Сентябрь, 2009 в 21:37
Да что тут думать то,все очевидно же!!! Потенциальная прибыль 100%,а убыток 50%,так что надо брать конверт.
3. Сентябрь, 2009 в 21:44
… а ничего что, если ты выбрал другой конверт, то надо было бы брать тот, от которого ты собрался отказаться? вот я завидую людям, для кого это решение очевидно)
3. Сентябрь, 2009 в 22:02
Так соотношение риск-профит равно 2! Получаеться,если взяли конверт и там 100 рублей,то в одном может быть 50 или 200. Потенциальная прибыль в 2 раза выше потенциального убытка и следую трейдерской логике надо брать другой конверт.
3. Сентябрь, 2009 в 22:03
а в другом конверте то почему не та же логика?
3. Сентябрь, 2009 в 22:21
Так в другом конверте самое неприятное будет на 50% меньше от суммы,а может быть в 2 раза больше
3. Сентябрь, 2009 в 22:27
т.е. в принципе первый конверт можно сразу не открывать, а определив, какой должен быть первым открывать сразу второй, а чем второй отличается от первого (когда не знаем что внутри) )))
правильный вывод видимо в отношении испытуемого к увиденной сумме в первом конверте
3. Сентябрь, 2009 в 23:25
Хорошая задача)
Предположим, что мы не открываем конверт, но размышляем: – в этом конверте n денег, во втором или 2n или 1/2n. Мат.ожидание для второго выбора =2n*0.5+1/2n*0.5=1.25n
То есть оно выше. Но, конверты у нас ничем не отличаются. Значит и для второго такая же история, с таким же мат.ожиданием. То есть ты выигрываешь и проигрываешь одновременно. И твой выбор ничего не решает. И тут уже пусть каждый выбирает для себя-либо недо-, либо пере-.
3. Сентябрь, 2009 в 23:27
по этой логике – конверты равны))
3. Сентябрь, 2009 в 23:37
забрать оба конверта и попросить третий
я думаю как то так нужно поступить
3. Сентябрь, 2009 в 23:44
я хотел спросить, как поступить, если полжить третий конверт, в котором может быть либо меньше в два раза, чем в меньшем из 2-х либо больше в 2 раза чем в большем) но пожалел ваш моск.
4. Сентябрь, 2009 в 09:11
сколько лоботрясов. )) вместо того, чтобы попосту трещать, заняли бы свой мозг чем нибудь практично-полезным )
4. Сентябрь, 2009 в 09:29
Как быть с №1 после открытия? Если мы его закрываем и снова не знаем сколько там, тогда это замкнутый круг. Если мы открываем 1 там 100, открываем 2 там 200, тогда нафига нам №3? И так же во всех остальных случаях…
А вы попробуйте увеличить конверты до бесконечности и составить для этого формулу!?
4. Сентябрь, 2009 в 18:04
Анатолий по почте прислал)
С коллегами вчера обсуждали. Пришли к выводу, что задача тонкая.
У этой задачи есть две формулировки.
1) Есть два конверта. Вы выбираете какой-либо и все смотрят, что там. После этого ведущий предлагает вам другой конверт, в котором равновероятно лежит либо в два раза больше, либо в два раза меньше, чем в первом. Вопрос: что в среднем выгодней–оставить то, что вы выбрали, либо отказаться в пользу другого?
2) Есть два конверта. Ведущий изначально положил в один из них в два раза больше, чем в другой. Вы выбираете наудачу один из них и смотрите, что в нем. После этого вам предоставляют две альтернативы: либо оставить конверт, либо отказаться в пользу другого. Вопрос: что в среднем выгоднее?
Это две разных задачи с разными ответами.
Будем моделировать первую. Для этого надо сделать следующее:
а) Взять положительное случайное число (я выбрал конверт и увидел что в нем). Записать это число в первый столбец.
б) С вероятностью 0.5 умножить его на два и с вероятностью 0.5 разделить на два (ведущий предлагает поменять). Полученное записать во второй столбец.
в) Проделать а) и б) много раз
г) Сложить все числа в первом столбце (итог первой альтернативы-”оставить”) и сложить все числа во втором столбце (итог второй альтернативы “поменять”).
В принципе, ответ и так очевиден–в среднем вторая альтернатива лучше на 25%–ответ админа и меня тоже, блин.
Рассмотрим теперь вторую задачу. В ней мы изначально должны приготовить два конверта так, что в одном было в два раза больше, чем в другом. Поэтому ее можно моделировать так:
а) Взять положительное случайное число. Записать это число в первый столбец.
б) С вероятностью 0.5 умножить его на два и с вероятностью 0.5 разделить на два. Полученное записать во второй столбец.
б1) Перемешать числа в паре и случайным образом раскидать их по первому и второму столбцу (именно этим задачи и различаются).
Все, конверты мы приготовили.
Теперь выбираем. Это соответствует еще одному перемешиванию.
б2) Еще раз перемешиваем, и наводим статистику:
в) Проделать а), б), б1), б2) много раз
г) Сложить все числа в первом столбце (итог первой альтернативы-”оставить”) и сложить все числа во втором столбце (итог второй альтернативы “поменять”).
В этой задаче из-за перемешивания теряется корреляция и обе альтернативы равноценны.
Изначальная постановка соответствует второй задаче, а общий ответ такой: в постановке админа обе альтернативы равноценны.
Привожу текст программы на VBA Excel, которая осуществляет моделирование задачи во второй формулировке. Для того, чтобы пользоваться, надо создать лист main в любой книге Excel, создать к этой книге модуль в Microsoft VBA, и скопировать в него код. Для моделирования первой задачи надо закомментировать блоки intermixing within each pair 1,2.
Option Explicit
Sub spor1()
Dim i, n, k As Integer
Dim f, s, g, a, ksi, ksi1, s1 As Single
For i = 1 To 1000
‘ Random value from [0,100]
Randomize
ksi = Rnd
ksi = 100 * ksi
Sheets(”main”).Cells(i, 1) = ksi ‘ first column–’random ‘value [0,100]
‘ random value from [-1,1] for coin imitation
Randomize
ksi1 = Rnd
ksi1 = 2 * ksi1 – 1
‘ multiply or divide (depending on sign of ksi1) by two
Sheets(”main”).Cells(i, 5) = ksi1
If ksi1 > 0 Then
Sheets(”main”).Cells(i, 3) = Sheets(”main”).Cells(i, 1) * 2
End If
If ksi1 < 0 Then
Sheets("main").Cells(i, 3) = Sheets("main").Cells(i, 1) / 2
End If
' intermixing within each pair 1
Randomize
ksi1 = Rnd
ksi1 = 2 * ksi1 - 1
If ksi1 > 0 Then
a = Sheets(”main”).Cells(i, 3)
Sheets(”main”).Cells(i, 3) = Sheets(”main”).Cells(i, 1)
Sheets(”main”).Cells(i, 1) = a
End If
‘ intermixing within each pair 2
Randomize
ksi1 = Rnd
ksi1 = 2 * ksi1 – 1
If ksi1 < 0 Then
a = Sheets(”main”).Cells(i, 3)
Sheets(”main”).Cells(i, 3) = Sheets(”main”).Cells(i, 1)
Sheets(”main”).Cells(i, 1) = a
End If
Next i
‘ Calculating results
s = 0
s1 = 0
For i = 1 To 50
s = s + Sheets(”main”).Cells(i, 1)
s1 = s1 + Sheets(”main”).Cells(i, 3)
Next i
‘ Printing results
MsgBox (”stand: ” & s & “, ” & “change: ” & s1)
End Sub
4. Сентябрь, 2009 в 22:09
По-моему к трейдингу эта задача не имеет никакого отношения .
Наброски:
если брать только первый конверт:
S1=x1 + x2 +x3+….
если брать только второй конверт:
S2=x1*1.25 + x2*1.25+x3*1.25+…
Т.к. вы пытаетись какие-то там мат.ожидания считать,
то эти суммы надо посмотреть в бесконечности – они равны.
4. Сентябрь, 2009 в 22:47
да, в бесконечности все сумме равны бесконечности…
и вообще все мы сдохнем, поэтому пофиг какой конверт брать, с т.з. загробной жизни они все не имеют никакой ценности.
4. Сентябрь, 2009 в 22:49
да, вот 2 варианта объяснения Анатолия мне нравятся. Как раз то, что я и имел в виду только более понятным языком.
4. Сентябрь, 2009 в 22:51
А к трейдингу заадча очень хорошо применима: сначала надо зашортить, а помто сразу в лонг. С точки зрения МО это гораздо выгоднее, чем просто сидеть в шорте!
4. Сентябрь, 2009 в 22:56
S1=x1 + x2 +x3+x4+…
если брать только второй конверт:
S2=x1*0.5 + x2*2 + x3*0.5+x4*2+…
5. Сентябрь, 2009 в 00:00
Мне бы ваши проблемы!!!
5. Сентябрь, 2009 в 07:56
S1=x1 + x2*2 + x3 + x4*2+…
S2=x1*2 + x2 + x3*2 + x4+…
но что-то всё равно не то )
7. Сентябрь, 2009 в 11:20
Копеечку в обсуждение…
Пусть минимальная из двух сумм равна Х — для нас это некоторое случайное число. Рассмотрим две стратегии: а. всегда сохранять конверт; б. всегда менять конверт.
Итак, протокол игры выглядит следующим образом:
1. Ведущий выбирает для себя Х и кладёт в конверты суммы Х и 2*Х.
2.А. С вероятностью 0.5 мы выбираем конверт с Х денег и оставляем его. С вероятностью 0.5 мы выбираем конверт с 2*Х денег и оставляем его. Получаем, что для стратегии А матожидание равно 1.25*Х.
2.Б. С вероятностью 0.5 мы выбираем конверт с Х денег и меняем его, т.е. получаем на руки 2*Х. С вероятностью 0.5 мы выбираем конверт с 2*Х денег и меняем его, т.е. получаем Х. Получаем, что для стратегии Б матожидание равно 1.25*Х.
Значит, обе стратегии эквивалентны.
Прим.: В длинной серии таких лотерей матожидание одной игры будет зависеть от матожидания “щедрости ведущего”, т.е. пропорциональна Е[Х].
Тогда в чём ценность того “золотого правила”, которое озвучил Феникс в оригинальном посте? Имхо именно это правило является наиболее ценным с практической точки зрения.
У меня получилось, что данное правило работает только в условиях наличия ограничения на Х! (На самом деле Х всегда ограничен. Например, оценку сверху можно дать суммой всех денег в экономиках мира или одной страны, можно дать менее консервативную оценку типа 100 миллиардов долларов.) В идеале, хорошо было бы проследить пару десятков игр в эту лотерею, чтобы составить некоторое представление о характере распределения случайной величины Х, ну да ладно. =)
Чтобы не вводить дополнительной потолочной информации, ограничусь следующим:
1. Величина Х больше нуля и ограничена сверху суммой М.
2. Случайное число Х имеет РАВНОМЕРНОЕ распределение на отрезке [0; M].
Пусть Игрок точно знает М, которое использует ведущий. Тогда следующая стратегия выигрывает у А и Б:
Если в открытом конверте сумма превышает М, тогда это конверт с суммой 2*Х и мы его оставляем. Если в открытом конверте сумма меньше М, то мы его меняем.
Наше матожидание при такой стратегии получается существенно больше: 0.5*1.25*Х + 0.5*2*Х = 1.625*Х.
Точное знание М и грамотное использование этой информации позволяет зарабатывать в среднем 0.8125*M за круг, что на 30% больше, чем 0.625*М, которое излекается по стратегиям А или Б.
Прим.: Если Игрок не имеет точных сведений о верхней границе щедрости ведущего, то он просто заранее задумывает число Y и далее работает по стратегии В, используя Y вместо истинного М. Ясно, что в этом случае его преимущество перед стратегиями А и Б будет тем слабее, чем дальше будет его оценка от истинного значения М. Причем спад скорее всего будет довольно быстрым!
Прим.: скорее всего, дополнительная информация о характере распределения случайной величины Х позволит построить ещё более эффективную стратегию, но насколько сильно можно улучшить 30%, которые дала стратегия В?
Кто придумает стратегию с ожиданием больше 2*Х в одном розыгрыше?
ПС Господин manuka, можно попросить Вас кратко изложить результаты того профессора, о котором Вы писали и указать получившееся у него матожидание? Или даже выслать его работу мне на емейл carga [at} MAIL {дот) RU ? Заранее благодарен!
7. Сентябрь, 2009 в 21:40
CarGa, а как в пунктах 2А и 2Б МО получается 1,25*Х? Должно быть 1,5*Х…
8. Сентябрь, 2009 в 11:34
Этот сюжет даже попал в кино, Кевин Спейси играл профессора, который задавал вопрос про 2 конверта. В фильме по сюжету студент выбрал второй конверт.
8. Сентябрь, 2009 в 12:20
В кино другой. Там двери выбирали
8. Сентябрь, 2009 в 12:46
В исходном решении, которое преподносится как парадокс, есть ошибка.
Почему-то в решении предлагается такое пространство равновероятных событий :
1) X в первом, 2X во втором конверте
2) X в первом, X/2 во втором конверте
Но ведь независимо от того, вскрыли конверт или нет, сумма денег в обоих конвертах не должна меняться (деньги туда клались до того, как был сделан выбор).
А у авторов она получается разная: 3X в первом случае и 1.5X во втором.
Правильным будет рассмотрение пространства равновероятных событий :
1) X в первом, 2X во втором конверте
2) 2X в первом, X во втором конверте
Матожидания у обоих конвертов 1/2X+1/22X = 1.5X
Т.е. менять бессмысленно, никакого парадокса нет.
8. Сентябрь, 2009 в 14:31
To Алексей:
Хм! Действительно, 0.5*Х + 0.5*2*Х = 1.5*X
Видимо, подсознательно уцепился за 1.25, которое вылезало из оригинального поста.
Спасибо за уточнение!
Тогда пересчитываем и матожидание стратегии “В”:
вместо 0.5*1.25*Х + 0.5*2*Х = 1.625*Х получается
0.5*1.5*X + 0.5*2*X = 1.75*Х
Результат хуже в 2 раза: вместо повышения эффективности на 30%, достигнуто повышение эффективности на (округленно) 17%.
Теперь уже совсем точно? =)
ПС У меня всегда одна и та же капча “WRWR”, хотя шум на картинке действительно меняется. Коллеги, а как у вас?
Господин Феникс, это так и задумано? 8-D
8. Сентябрь, 2009 в 15:30
это так задумано, чтобы было удобно вводить и не путались с русской или латинской раскладкой. плюс не важен регистр, если кто не в курсе. а еще проще, если зарегистрироваться но вообще не надо вводить ничего. Это сделано для защиты от спам ботов.
8. Сентябрь, 2009 в 20:02
Тема обсуждалась тут h t t p://www.membrana.ru/print.html?1250689500